Calcul Section Béton Armé en Flexion Simple : Cours PDF à télécharger

Découvrez un cours complet sur le Calcul Section Béton Armé en Flexion Simple. Ce guide technique détaille les méthodes de calcul aux ELU et ELS, le dimensionnement des armatures, les sections rectangulaires et en Té, ainsi que les vérifications de non-fragilité. Téléchargez le PDF pour accéder à des applications numériques, des exemples concrets et des diagrammes explicatifs. Idéal pour les étudiants en génie civil et les ingénieurs en conception structurelle.

La flexion simple est un cas de sollicitation fréquent dans les structures en béton armé, notamment dans les poutres, où seuls un moment fléchissant et un effort tranchant sont présents, sans effort normal. Ce guide technique détaille les méthodes de calcul des sections en béton armé soumises à la flexion simple, conformément aux principes du BAEL (règlement français de calcul des structures en béton armé).

Nous aborderons successivement :

• Les hypothèses de calcul aux états limites ultimes (ELU) et de service (ELS),

• Le dimensionnement des armatures longitudinales et transversales,

• Les cas des sections rectangulaires et en Té,

• Les vérifications aux ELS et la condition de non-fragilité.

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1. Définition et Hypothèses de Base

Un élément est soumis à la flexion simple lorsque, dans toute section, les sollicitations se réduisent à un moment fléchissant $M_f$ et un effort tranchant $T$, l’effort normal $N$ étant nul. Les poutres, qu’elles soient isostatiques ou continues, en sont les exemples typiques.

L’action du moment fléchissant conduit au dimensionnement des armatures longitudinales, tandis que l’effort tranchant conditionne celui des armatures transversales (cadres, étriers).

Hypothèses de calcul à l’ELU :

1. Navier-Bernoulli : les sections planes restent planes après déformation.

2. Pas de glissement entre acier et béton.

3. Résistance du béton en traction négligée.

4. Section d’acier concentrée en son centre de gravité.

5. Diagramme contrainte-déformation du béton : rectangulaire simplifié.

6. Diagramme de l’acier : bilinéaire.

Déformations limites :

• Pivot A : ${\epsilon }_{st}=10\mathrm{\%}$, $0\le {\epsilon }_{bc}\le 3,5\mathrm{\%}$

• Pivot B : $0\le {\epsilon }_{st}\le 10\mathrm{\%}$, ${\epsilon }_{bc}=3,5\mathrm{\%}$

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2. Calcul des Armatures Longitudinales à l’ELU

2.1 Section Rectangulaire sans Aciers Comprimés

L’équilibre de la section permet d’écrire :

$$N_{st}=N_{bc}\Rightarrow A_{st}\cdot {\sigma }_{st}=0,8\cdot y_u\cdot b\cdot f_{bu}$$$$M_u=A_{st}\cdot {\sigma }_{st}\cdot Z_u\text{avec}{Z}_u=d-0,4y_u$$

On introduit les grandeurs réduites :

$${\alpha }_u=\frac{y_u}{d},{\beta }_u=1-0,4{\alpha }_u,{\mu }_{bu}=\frac{M_u}{b\cdot d^2\cdot f_{bu}}$$$${\mu }_{bu}=0,8\cdot {\alpha }_u(1-0,4{\alpha }_u)$$

La résolution donne :

$${\alpha }_u=1,25(1-\sqrt{1-2{\mu }_{bu}})$$

La section d’acier tendu est alors :

$$A_{st}=\frac{M_u}{{\sigma }_{st}\cdot {\beta }_u\cdot d}$$

2.2 Section Rectangulaire avec Aciers Comprimés

Lorsque ${\mu }_{bu}>{\mu }_l$ (moment réduit limite), on doit placer des aciers comprimés. On décompose le moment en :

$$M_u=M_r+\mathrm{\Delta }M$$

Où $M_r={\mu }_l\cdot b\cdot d^2\cdot f_{bu}$ est le moment résistant du béton seul.

La section d’aciers comprimés $A_{sc}$ est donnée par :

$$A_{sc}=\frac{\mathrm{\Delta }M}{{\sigma }_{sc}\cdot (d-d^{\mathrm{\prime }})}$$

La section d’aciers tendus devient :

$$A_{st}=A_{st1}+A_{st2}=\frac{M_r}{{\sigma }_{st}\cdot {\beta }_u\cdot d}+\frac{\mathrm{\Delta }M}{{\sigma }_{st}\cdot (d-d^{\mathrm{\prime }})}$$

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3. Section en Té

3.1 Largeur de la Table de Compression

La largeur participante $b$ de la table est la plus faible des valeurs suivantes :

• Moitié de la distance entre deux nervures consécutives,

• Dixième de la portée,

• Deux tiers de la distance à l’appui le plus proche.

3.2 Calcul sans Aciers Comprimés

On calcule d’abord le moment $M_t$ que peut reprendre la table seule :

$$M_t=b\cdot h_0\cdot (d-\frac{h_0}{2})\cdot f_{bu}$$

• Si $M_t\ge M_u$ : la section se calcule comme une section rectangulaire de largeur $b$.

• Si $M_t<M_u$ : la nervure participe. On décompose la section en deux parties.

3.3 Méthode de Calcul

$$M_u=M_a+M_n$$

• $M_a$ : moment équilibré par les ailes,

• $M_n$ : moment équilibré par la nervure.

La section d’acier est :

$$A_{st}=A_{st1}+A_{st2}$$

avec :

$$A_{st2}=\frac{(b-b_0)\cdot h_0\cdot f_{bu}}{f_{su}}$$

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4. Justifications aux États Limites de Service (ELS)

4.1 Hypothèses

• Sections planes restent planes,

• Pas de glissement acier-béton,

• Béton tendu négligé,

• Coefficient d’équivalence $n=15$.

4.2 Contraintes Limites

• Béton : ${\sigma }_{bc}\le 0,6\cdot f_{cj}$

• Acier :

  • FPP : ${\sigma }_{st}\le f_e$

  • FP : ${\sigma }_{st}\le \min (\frac{2}{3}{f}_e;110\sqrt{\eta \cdot f_{tj}})$

  • FTP : ${\sigma }_{st}\le 0,8\cdot \min (\frac{2}{3}{f}_e;110\sqrt{\eta \cdot f_{tj}})$

4.3 Vérification des Contraintes

Pour une section homogénéisée, on détermine la position de l’axe neutre $y_1$ par l’équation des moments statiques. Puis on calcule les contraintes :

$${\sigma }_{bc}=\frac{M_{ser}}{I_x}\cdot y_1,{\sigma }_{st}=n\cdot \frac{M_{ser}}{I_x}\cdot (d-y_1)$$

On vérifie :

$${\sigma }_{bc}\le {\bar{\sigma }}_{bc},{\sigma }_{st}\le {\bar{\sigma }}_{st}$$

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5. Condition de Non-Fragilité

Pour éviter une rupture fragile, on impose une section minimale d’armatures :

• Section rectangulaire :

$$A_{min}=0,23\cdot b\cdot d\cdot \frac{f_{t28}}{f_e}$$

• Section en Té :

$$A_{min}=\frac{I_{GZ}}{(d-\frac{h_0}{3})\cdot v}\cdot \frac{f_{t28}}{f_e}$$

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Chapitre des liens utiles

Voici une sélection de ressources détaillées sur le calcul des structures et la résistance des matériaux, avec les liens intégrés directement dans les titres et les mots-clés.

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Cours et Calculs de Base en Génie Civil

• Calcul d'une structure en béton armé selon les règles BAEL Cette ressource propose un cours complet sur les calculs des armatures pour les éléments de structure tels que les poteaux, les poutres et les dalles. Elle couvre en détail les règles du BAEL, les caractéristiques des matériaux, et les calculs des armatures longitudinales et transversales pour des sections en simple compression ou en simple flexion. Le document traite également du dimensionnement des fondations.

• Calcul de la flexion simple d'une poutre Ce guide se concentre spécifiquement sur le calcul de la flexion simple pour les poutres. Il fournit un document détaillé au format PDF pour vous aider à comprendre les concepts et à maîtriser le dimensionnement des poutres en béton armé.

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Exercices et Applications Pratiques

• Calcul de la flexion d'une poutre sous charge répartie Apprenez à calculer la flexion d'une poutre soumise à une charge répartie à travers un tutoriel vidéo pratique. Ce support pédagogique, basé sur les règles BAEL, est idéal pour les étudiants en sciences techniques.

• Exercices corrigés sur la flexion simple en RDM Cette page rassemble une série d'exercices corrigés sur la résistance des matériaux (RDM), spécifiquement axés sur la flexion simple. C'est une ressource précieuse pour mettre en pratique vos connaissances et tester votre compréhension des calculs.

Conclusion

Le calcul des sections en béton armé en flexion simple repose sur une méthodologie rigoureuse, tant à l’ELU qu’à l’ELS. La maîtrise de ces principes est essentielle pour concevoir des structures durables et économiques. Les applications numériques et les exemples présentés dans le document source illustrent parfaitement ces concepts.