Calcul d’une Poutre en T en Flexion Simple : Exercice Corrigé (ELU et ELS)

Vous êtes ingénieur, étudiant en génie civil, ou simplement passionné de construction ? Savoir dimensionner une poutre en T en béton armé est une compétence clé pour concevoir des structures efficaces et durables. Mais entre les calculs à l’ELU (État Limite Ultime) et à l’ELS (État Limite de Service), les choses peuvent rapidement se compliquer.

Comment déterminer la section d’acier nécessaire ? Comment vérifier les contraintes en service ? Pour répondre à ces questions, nous vous proposons un exercice corrigé détaillé inspiré de cas réels, intégralement téléchargeable en PDF. À travers cet article, vous apprendrez pas à pas la méthodologie de dimensionnement d’une poutre en T, depuis les données matériaux jusqu’aux vérifications finales.

Exercice corrigé complet sur le calcul et le ferraillage d’une poutre en T en flexion simple (ELU et ELS). 📥 Téléchargez gratuitement le PDF détaillé

Les bases d’une poutre en T en béton armé

Qu’est-ce qu’une poutre en T ?

Une poutre en T est un élément structurel courant dans les bâtiments et les ponts. Elle se compose de deux parties :

Une table de compression (la partie horizontale),
Une nervure (la partie verticale).

Cette forme permet de maximiser la résistance à la flexion tout en optimisant le poids et la quantité de béton utilisé.

L’importance du dimensionnement ELU/ELS

Le dimensionnement d’une poutre en béton armé repose sur deux vérifications essentielles :

ELU (État Limite Ultime) : On s’assure que la structure ne rompra pas sous l’effet des charges maximales.
ELS (État Limite de Service) : On vérifie que les déformations et fissurations restent acceptables en conditions d’utilisation.

Exercice corrigé : calcul complet d’une poutre en T

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Données du projet

Imaginons une poutre supportant des planchers de bureaux avec les caractéristiques suivantes :

Portée : L = 22 m
Charges : G = 29 kN/m (permanente), Q = 40 kN/m (exploitation)
Béton : C30/37
Acier : 500B
Dimensions de la section :
- Largeur de la table : $b_{e f f} = 1, 50 m$
- Largeur de l’âme : $b_{w} = 0, 50 m$
- Hauteur totale : $h = 1, 25 m$
- Épaisseur de la table : $h_{f} = 0, 15 m$

Étape 1 : Calculs préliminaires

a. Données nécessaires

La classe d’exposition est XC3, la classe structurale S4. La durée de vie du projet est de 50 ans.

b. Paramètres matériaux

Béton C30/37 :
- $f_{c k} = 30 M P a$
- $f_{c d} = 20 M P a$
- $E_{c m} = 32, 84 G P a$
Acier 500B :
- $f_{y k} = 500 M P a$
- $f_{y d} = 434, 78 M P a$

c. Combinaisons des charges et moment à l’ELU

Charge ELU : $P_{e l u} = 1, 35 G + 1, 5 Q = 99, 15 k N / m$
Moment ELU : $M_{E d, e l u} = \frac{P_{e l u} L^{2}}{8} = 5998, 57 k N \cdot m$

d. Largeur de la table participante

La largeur efficace $b_{e f f}$ est calculée selon l’Eurocode 2. Ici, $b_{e f f} = 1, 50 m$ (déjà donnée et vérifiée).

Étape 2 : Dimensionnement à l’ELU

a. Moment trivial

Le moment trivial $M_{T, e l u} = 3834 k N \cdot m$ . Puisque $M_{E d, e l u} > M_{T, e l u}$ , la poutre fonctionne bien en T.

b. Calcul des armatures

On décompose la section en deux parties :

Section 2 (table seule) :
- $M_{E d, e l u 2} = 3150 k N \cdot m$
- $A_{s 2} = 69 c m^{2}$
Section 1 (nervure) :
- $M_{E d, e l u 1} = 2848, 57 k N \cdot m$
- $μ_{u} = 0, 225$ → Pivot B
- $A_{s 1} = 66, 88 c m^{2}$
Section totale d’acier :
- $A_{s} = A_{s 1} + A_{s 2} = 135, 88 c m^{2}$

c. Choix des armatures

Plusieurs options sont possibles, par exemple :

2 lits de 6 HA32 + 1 lit de 4 HA32 et 2 HA25 → $A_{s} = 138, 50 c m^{2}$

d. Vérification de l’enrobage

Avec $c_{n o m} = 42 m m$ et $ϕ_{t} = 12 m m$ , on trouve $c_{ϕ L} = 54 m m$ .

e. Espacement et hauteur utile

$d_{r e c t} = 1, 150 m$ (supérieur à la valeur estimée, donc ok)
$a_{r e c t} = 40 m m$ (respecte les exigences minimales)

f. Sections min et max

$A_{s, m i n} = 8, 67 c m^{2}$
$A_{s, m a x} = 250 c m^{2}$

La condition $A_{s, m i n} < A_{s} < A_{s, m a x}$ est vérifiée.

Étape 3 : Dimensionnement à l’ELS

a. Moment à l’ELS

$P_{e l s} = G + Q = 69 k N / m$
$M_{E d, e l s} = 4174, 50 k N \cdot m$

b. Coefficient d’équivalence

$α_{e} = \frac{E_{s}}{E_{c, e f f}} = 13, 72$

c. Vérification de la section

La poutre fonctionne en T (calcul confirmé par le signe du moment trivial).

d. Calcul de l’inertie non fissurée

$I_{1} = 0, 179 m^{4}$

e. Section fissurée ou non ?

$M_{T r i v 1} = 855, 19 k N \cdot m$
Puisque $M_{E d, e l s} > M_{T r i v 1}$ , la section est fissurée.

f. Inertie fissurée

$I_{2} = 0, 128 m^{4}$

g. Vérification des contraintes

Contrainte béton : $σ_{c} = 16, 14 M P a < 30 M P a$ → OK
Contrainte acier : $∣ σ_{s} ∣ = 293, 08 M P a < 400 M P a$ → OK

La poutre est vérifiée à l’ELS.

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L’énoncé détaillé de l’exercice,
Toutes les étapes de calcul commentées,
Les formules essentielles,
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Conseils pratiques pour le ferraillage des poutres en T

Utilisez des logiciels de CAO pour visualiser le ferraillage et éviter les interférences.
Vérifiez toujours l’espacement entre les barres pour assurer une bonne mise en œuvre.
Pensez à l’enrobage dès la phase de conception pour respecter les durées de vie requises.

Conclusion

Le calcul d’une poutre en T en flexion simple demande une approche méthodique, mais en suivant les étapes ELU et ELS, vous garantissez la sécurité et la durabilité de vos structures. Que vous travailliez sur un projet réel ou que vous prépariez un examen, cet exercice corrigé vous offre une base solide.

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