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Introduction à la résistance des matériaux

Written By web share on mardi 2 juillet 2013 | 18:35

Qu'est-ce qui constitue un bon enseignement ? Cette question, quiconque se trouve en face
d'un public pour faire passer un savoir se la pose. Évidemment, les enseignants. Mais aussi
l'ensemble, la synergie entre les cours : si l'auditoire ne comprend pas ces synergies, il ne
voit que des disciplines, n'a comme horizon indépassable que des examens. Et puis les
étudiants, bien sûr ! Un cours c'est une interaction.
Pourquoi écrire cela en avant propos d'un cours de RDM ? Et bien pour celui qui, en plus
de la RDM, matière de base, technique et peu propice aux grandes envolées théoriques, m'a
fait comprendre ce qu'était une formation d'ingénieur et, corrolaire, m'a montré ce qu'était
l'art d'enseigner.
A Rémi Henry, professeur à l'INSA de Lyon, « disparu trop », comme s'il pouvait en être
autrement....

Objectifs et limitations d'un cours de Résistance des Matériaux

– maîtriser une technique particulière : la résistance des matériaux est l'un des outils de base
de l'ingénieur mécanicien. Elle permet la résolution à faible coût d'un très grand nombre
de problèmes pratiques. Notons parmi ceux-ci :
• dimensionnement de charpentes (lamellé-collé, acier, ...),
• transport par câble : dimensionnement des cabines, des pylônes,
• dimensionnement de structures de bâtiment ou de Génie Civil (en particulier
BAEL),
• conception d'essais de caractérisation mécanique.
– obtenir une image vraisemblable d'un résultat ; la notion de vraisemblance implique un
savoir-faire et un jugement. Il est important de conforter les résultats obtenus à des essais
expérimentaux ou, pour les zones les plus sollicitées, de compléter par un calcul de
structure plus élaboré (Eléments Finis par exemple).
– Introduire une approche mécanicienne de la conception de produits. Le centre des
préoccupation d'un mécanicien est la définition d'une pièce assurant une fonction
mécanique (transmission d'un effort ou d'un déplacement) en travaillant à la fois sur la
géométrie et le matériau qui le constitue. En particulier, dans ce cadre-là, le matériau doit
être le plus courant possible (faible coût d'approvisionnement, mise en oeuvre éprouvée).
L'approche mécanique de conception est un exemple typique d'optimisation sous
contraintes. En fonction de chaque cas, il est important de bien dégager les contraintes et
l'objectif visé.


Table des matières

1 - Généralités, définitions et principes................................................................................................7
1.1 - Objectifs et limitations d'un cours de Résistance des Matériaux............................................7
1.1.1 - Objectifs...........................................................................................................................7
1.1.2 - Limitations.......................................................................................................................7
1.1.3 - Domaine d'utilisation.......................................................................................................8
1.2 - Position d'un problème mécanique..........................................................................................8
1.3 - Définitions...............................................................................................................................8
1.3.1 - La structure......................................................................................................................8
1.3.2 - Conditions aux limites.....................................................................................................9
1.4 - Modélisation d'un montage....................................................................................................12
1.5 - Principes fondamentaux........................................................................................................15
1.5.1 - Principe de la coupe virtuelle.........................................................................................15
1.5.2 - Torseur résultant des efforts..........................................................................................16
1.5.3 - Éléments de réduction....................................................................................................17
1.6 - Conclusion et remarques : ....................................................................................................18
1.7 - Exercices................................................................................................................................19
2 - Position du problème d'élasticité (anisotrope)..............................................................................21
2.1 - Description des contraintes....................................................................................................21
2.1.1 - Définition des contraintes sur un volume élémentaire...................................................21
2.1.2 - Contraintes principales..................................................................................................21
2.1.3 - Notations pour l'ingénieur..............................................................................................22
2.1.4 - Cercle de Mohr..............................................................................................................22
2.2 - Description des déformations................................................................................................23
2.2.1 - Déformations d'un volume élémentaire.........................................................................23
2.2.2 - Définition des déformations...........................................................................................24
2.2.3 - Déformations principales...............................................................................................25
2.2.4 - Notations pour l'ingénieur..............................................................................................25
2.2.5 - Équations de compatibilité............................................................................................25
2.3 - Relation contrainte / déformation..........................................................................................26
2.3.1 - Courbe expérimentale de chargement............................................................................26
2.3.2 - Loi de Hooke généralisée...............................................................................................27
2.3.3 - Relations de changement de base..................................................................................28
2.3.4 - Caractérisation de matériaux.........................................................................................28
2.3.5 - Expression des constantes Cij d'un matériau orthotrope en fonction des paramètres de
l'Ingénieur..................................................................................................................................29
2.4 - Relation Fondamentale de la Dynamique..............................................................................31
2.4.1 - Démonstration................................................................................................................31
2.4.2 - Énoncé...........................................................................................................................32
2.4.3 - Résolution du problème d'élasticité en petites déformations.........................................32
2.4.4 - Méthodes variationnelles, méthode de Rayleigh-Ritz...................................................33
3 - Théorie de poutres.........................................................................................................................34
3.1 - Étude d'une couche unique dans le cas d'un matériau orthotrope..........................................34
3.1.1 - Contexte.........................................................................................................................34
3.1.2 - État de contraintes..........................................................................................................34
3.1.3 - Lois de comportement...................................................................................................34
3.1.4 - Modules d'élasticité.......................................................................................................35
3.2 - Expression des déformations dans le cadre de la théorie de poutres.....................................35
3.2.1 - Développement limité des déplacements selon x2 et x3...............................................35
3.2.2 - Expression des déformations.........................................................................................36
3.3 - Expression des contraintes et des efforts résultants...............................................................37
3.3.1 - Expression des efforts résultants....................................................................................37
3.3.2 - Loi de comportement d'une poutre................................................................................37
3.3.3 - Cas d'une poutre homogène...........................................................................................38
4 - Etude de sollicitations simples......................................................................................................40
4.1 - Traction..................................................................................................................................40
4.1.1 - Modélisation..................................................................................................................40
4.1.2 - Cas des enveloppes minces............................................................................................41
4.1.3 - Treillis articulé...............................................................................................................41
4.1.4 - Équation de la Chaînette................................................................................................44
4.1.5 - Exercices........................................................................................................................46
4.2 - Cisaillement...........................................................................................................................47
4.2.1 - Modélisation..................................................................................................................47
4.2.2 - Essais de cisaillement classiques...................................................................................48
4.2.3 - Exercices........................................................................................................................49
4.3 - Torsion...................................................................................................................................49
4.3.1 - Modélisation..................................................................................................................49
4.3.2 - Exercices........................................................................................................................51
4.4 - Flexion...................................................................................................................................52
4.4.1 - Modélisation..................................................................................................................52
4.4.2 - Exemples........................................................................................................................53
4.4.3 - Introduction du cisaillement..........................................................................................53
4.4.4 - Extension de la flexion plane sur poutre droites à faible courbure................................55
4.4.5 - Exercices........................................................................................................................55
5 - Approches énergétiques................................................................................................................57
5.1 - Principe..................................................................................................................................57
5.2 - Théorème de Maxwell Betti..................................................................................................58
5.2.1 - Coefficient d'influence...................................................................................................58
5.2.2 - Réciprocité.....................................................................................................................58
5.3 - Théorème de Castigliano.......................................................................................................59
5.3.1 - Énoncé...........................................................................................................................59
5.3.2 - Calcul de déplacements.................................................................................................60
5.4 - Sytèmes hyperstatiques .........................................................................................................62
5.4.1 - Méthode générale...........................................................................................................62
5.4.2 - Théorème de Menabrea..................................................................................................62
5.4.3 - Hyperstaticité interne.....................................................................................................63
5.5 - Exercices................................................................................................................................64
6 - Dimensionnement de structures élastiques...................................................................................66
6.1 - Critères de Tresca et Von Mises............................................................................................66
6.2 - Concentration de contraintes.................................................................................................66
6.3 - Problèmes d'endurance..........................................................................................................66
6.4 - Flambement de structures......................................................................................................66
7 - Annexes.........................................................................................................................................68
7.1 - Bibliographie.........................................................................................................................68

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